Богатырев был одним из любимых актеров Никиты Михалкова, и прославился он благодаря его фильмам. Его дебют в кино состоялся в роли в короткометражном фильме Михалкова «Спокойный день в конце войны», а славу актеру принес «Свой среди чужих, чужой среди своих». Он был не только великолепным актером, но и талантливым художником, картинами которого восхищались все, кто их видел. К сожалению, личная жизнь Юрия Богатырева, так и не сложилась. Его первой любовью была Нелли Якубова, девушка, которая, как и он, занималась в кукольном театре-студии «Глобус». Юрий всегда привлекал внимание девушек – высокий, статный голубоглазый юноша с чувственными губами, великолепно танцующий, импровизирующий на фортепиано, не мог оставить ни одну из них равнодушной.

Всех покоряла его несовременная галантность, умение говорить комплименты. Несмотря на то, что, став студентом училища им. Щукина, он активно ухаживал за девушками, в личной жизни Юрия Богатырева не происходило изменений. Было видно, что за этими ухаживаниями не кроется сильного чувства. И позже, когда он стал одним из актеров МХАТа, снимался в кино, а фото актера появлялось на обложках журналов, его отношения с женщинами не шли дальше дружбы. Он восхищался многими своими коллегами-актрисами, боготворил их, но продолжал оставаться холостяком. Женщины влюблялись в Богатырева, и каждая из них мечтала стать его женой, но ни к одной из них Юрий так и не обратился с подобным предложением.  Причина заключалась в том, что, восхищаясь женщинами, актер мог любить только мужчин. Это очень мучило его, и было его настоящей бедой. Богатырев доводил себя до депрессивного состояния, и, что самое страшное, находил выход из него, злоупотребляя алкоголем.

Его постоянно сопровождало какое-то чувство вины, которое он старался заглушать изрядным подпитием, но от этого ему становилось только хуже. Своей бедой Богатырев делился с Натальей Гундаревой, которая стала для него настоящим другом. Актриса, как могла, успокаивала Юрия, но это не могло уменьшить его боль. Чрезмерное употребление алкоголя, да еще вместе с антидепрессантами, подорвало здоровье актера, и, в конце концов, погубило его. Правда, в личной жизни Юрия Богатырева был один брак — фиктивный. Чтобы спасти актрису Надежду Серую от выселения из Москвы после развода с мужем, Юрий Богатырев поддался на уговоры коллег и женился на ней. Впоследствии, по признаниям Серой, их связывали не только формальные отношения, артист нашел в ней человека, которому постоянно изливал свою душу.